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항공우주/우주역학71

삼체문제 (Three-Body Problem) 이체문제(two-body problem)에서는 전 우주에 질점(point mass)이 딱 2개 밖에 없으며 두 질점 사이에는 만유인력만 작용한다는 가정하에서 두 질점의 운동에 관한 문제를 다루었다. 이체문제는 해석적인 해가 존재했으며 두 질점의 절대적인 또는 상대적인 궤도의 모양은 원, 타원, 포물선, 쌍곡선 중의 하나였다. 삼체문제(three-body problem)는 이체문제에 질점 하나를 추가한 것이다. 전 우주에 질점이 3개밖에 없으며 세 질점 사이에 만유인력만 작용한다는 가정하에서 세 질점의 운동을 다루는 문제다. 삼체문제는 질점 하나를 더 추가했을 뿐이지만 이체문제와는 확연히 다른 매우 복잡한 운동의 모습을 보여준다. 우선 삼체문제는 해석적인 해가 없다. 수치적으로 운동 방정식을 풀어야 한다... 2021. 4. 7.
기본 궤도 미분 방정식 - 궤적 방정식 이체문제 가정하에서 다음과 같이 기본 궤도 미분 방정식을 유도한 바 있다. \[ \frac{^i d^2 \vec{r}}{ dt^2} + \frac{\mu}{r^3} \vec{r} =0 \] 여기서 \(\mu=GM\)은 중력 파라미터, \(\vec{r}\)은 관성 좌표계 \(\{i\}\)의 원점에서 질점 \(m\)까지의 위치 벡터, \(r\)은 위치 벡터의 크기, 즉 거리다. 위 식으로 알 수 있는 것에는 또 무엇이 있을까. 궤도의 모양을 알 수 있다. 궤도 미분 방정식에 의하면 궤도의 모양은 4가지밖에 없다. 원궤도, 타원궤도, 포물선궤도, 쌍곡선궤도가 그것이다. 어떻게 궤도의 모양을 알 수 있는지 살펴보도록 하자. 사실 궤도 미분 방정식을 풀면 질점 \(m\)의 운동 궤도 모양을 알 수 있다. 위 식은.. 2021. 3. 1.
기본 궤도 미분 방정식 - 궤도 에너지 보존 이체문제 가정하에서 다음과 같이 기본 궤도 미분 방정식을 유도한 바 있다. \[ \frac{^i d^2 \vec{r}}{ dt^2} + \frac{\mu}{r^3} \vec{r} =0 \] 여기서 \(\mu=GM\)은 중력 파라미터, \(\vec{r}\)은 관성 좌표계 \(\{i\}\)의 원점에서 질점 \(m\)까지의 위치 벡터, \(r\)은 위치 벡터의 크기, 즉 거리다. 위 식으로 어떤 것을 알 수 있을까. 만유인력은 보존력(conservative force)이므로 만유인력 이외의 다른 힘이 존재하지 않는다는 가정 하에서 질점 \(m\)의 기계적인 에너지(mechanical energy)는 보존될 것으로 예상할 수 있다. 궤도 미분 방정식을 이용하여 질점 \(m\)의 운동 궤도상에서 실제로 기계적인 .. 2021. 2. 25.
기본 궤도 미분 방정식 - 각운동량 보존과 궤도면 이체문제 가정하에서 다음과 같이 기본 궤도 미분 방정식을 유도한 바 있다. \[ \frac{^i d^2\vec{r}}{dt^2} + \frac{\mu}{r^3} \vec{r} = 0 \] 여기서 \(\mu=GM\)은 중력 파라미터, \(\vec{r}\)은 관성 좌표계 \(\{i\}\)의 원점에서 질점 \(m\)까지의 위치 벡터, \(r\)은 위치 벡터의 크기, 즉 거리다. 위 식으로 어떤 것을 알 수 있을까. 먼저 3차원 공간상에 있는 질점 \(m\)은 특정 평면내에서만 운동한다는 것을 알 수 있다. 이 평면을 궤도면(orbital plane)이라고 한다. 질점 \(M\)을 태양, 질점 \(m\)을 지구로 본다면 지구의 공전면을 황도면이라고 하는데, 지구는 태양 주위를 돌지만 황도면을 벗어나지는 못한다... 2021. 2. 24.
기본 궤도 미분 방정식을 풀기 위한 조건 기본 궤도 미분 방정식을 다음과 같이 유도한 바 있다. \[ \frac{ ^id^2 \vec{r} }{ dt^2 } + \frac{ \mu }{ r^3 } \vec{r} = 0 \tag{1} \] 여기서 \(\mu =GM\)은 중력 파라미터, \(\vec{r}\)은 관성 좌표계 \(\{i\}\)의 원점에서 질점 \(m\)까지의 위치 벡터, \(r\)은 위치 벡터의 크기, 즉 거리다. 위 식을 유도하는데 다음 3가지 가정을 전제로 했다. 먼저 질량 \(m\)은 질량 M에 비해서 무시할 수 있을 정도로 작다. 둘째, 질점 \(M\)은 말 그대로 질점이거나 또는 질점으로 간주할 수 있는 완전한 원구체이며 만유인력은 원구체의 중심을 향한다. 셋째, 질점 \(M\)과 \(m\)사이에 작용하는 힘은 만유인력 밖에 .. 2021. 1. 12.
더 단순화된 이체문제 이체문제의 운동 방정식을 다음과 같이 유도한 바 있다. \[ \frac{ ^id^2 \vec{r} }{dt^2 } + \frac{\mu}{r^3} \vec{r} = 0 \tag{1} \] 여기서 \(\mu=G(M+m)\)이다. 이 식은 질점 \(M\)에 대한 질점 \(m\)의 상대적인 운동을 표현한 식이다. 두 질점의 질량 중심점은 벡터 \(\vec{r}_c\)가 가리키는 점으로 다음 식으로 주어진다. \[ \vec{r}_c = \frac{ M\vec{r}_M +m\vec{r}_m }{ M+m } \tag{2} \] 이제 이체문제를 더 단순화시키고자 한다. 식 (1)에서 한 질점의 질량이 다른 질점의 질량보다도 압도적으로 크다고 가정한다. \[ M≫m \tag{3} \] 그러면 \(M+m \approx .. 2021. 1. 12.
기본 궤도 미분 방정식 전 우주에 물체가 딱 2개 밖에 없다고 가정한다. 이 2개의 물체도 질점(부피와 모양이 없이 질량만 가진 물체)이라고 가정한다. 질량이 있으므로 두 질점 사이에는 만유인력이 작용한다. 이런 조건에서 이 두 질점의 운동 방정식을 세워보려고 한다. 이와 같이 '만유인력 하에서의 두 질점의 운동에 관한 문제'를 이체문제(two-body problem)라고 한다. 그림과 같이 질량 \(M\)과 질량 \(m\)인 두 질점이 거리 \(r\)만큼 떨어져 있고, 두 질점 간에는 오직 만유인력만 작용한다고 가정한다. 그림에는 관성좌표계 \(\{i\}\)도 표시했다. 뉴턴의 제2법칙을 적용하려면 관성좌표계가 필요하기 때문이다. 그러면 만유인력의 법칙에 의하여 질점 \(M\)에는 질점 \(m\)방향으로 힘이 작용하므로 질점.. 2021. 1. 11.
이체문제 (Two-Body Problem) 천문역학의 기초는 17세기에 정립되었다. 이 시기에 가장 큰 공헌을 한 사람은 티코 브라헤 (Tycho Brahe, 1546-1601), 요하네스 케플러 (Johanness Kepler, 1571-1630), 그리고 아이작 뉴턴 (Isaac Newton, 1642-1727)이다. 덴마크 출신의 관측 천문학자인 브라헤는 수십년간 행성의 운동을 관측하고 그 위치를 기록하였는데 당시 망원경이 사용되기 전에 육안으로 관측할 수 있는 가장 정확한 관측기록을 남긴 것으로 평가받고 있다. 브라헤의 정밀하고 방대한 관측 자료를 인계받은 독일의 천문학자 케플러는 그의 자료를 분석하여 행성운동에 관한 3가지 법칙을 만들었다. 1609년에 행성의 운동에 관한 제1법칙인 타원궤도의 법칙과 제2법칙인 면적속도 일정의 법칙을 발.. 2021. 1. 11.
만유인력의 법칙 뉴턴의 만유인력의 법칙(law of universal gravitation)은 질량을 가진 물체사이에 작용하는 인력(끌어당기는 힘)에 관한 것으로서 뉴턴은 이 법칙을 제2법칙과 결합하여 행성의 운동을 해석하고 케플러 법칙을 증명하였다. 만유인력의 법칙에 의하면 두 질점 간의 인력은 두 질점을 연결한 선과 평행하게 작용하며 크기는 두 질점의 질량의 곱에 비례하고 두 질점 사이의 거리의 제곱에 반비례한다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다. \[ \begin{align} \vec{F}_1 &= G \frac{Mm}{r^2} \hat{e}_r \tag{1} \\ \\ &= G \frac{Mm}{r^2} \frac{\vec{r}}{r} \end{align} \] 여기서 \(M, m \)은 두 질점의 질량, \.. 2021. 1. 10.
추력 방정식 탄도 미사일이나 발사체의 추력(thrust)은 로켓 엔진이 연료를 빠르게 분사하면서 생기는 반작용에 의해서 생성된다. 다음 그림은 로켓과 로켓에서 분사된 연료로 구성된 질점(particle) 시스템을 보여주고 있다. 추력 유도 과정을 간단하게 하기 위해서 로켓에는 대기 압력 이외에 다른 힘이 존재하지 않고 분사된 연료의 방향은 로켓 동체의 센터라인과 일치한다고 가정한다. 그림에서 \(\hat{e}_{ct}\)는 로켓 동체의 센터라인을 나타내는 방향 벡터다. 위에 있는 그림은 시간 \(t\)에서 질량 \(m\)인 로켓이 절대 속도 \(V\)로 \(\hat{e}_{ct}\) 방향으로 날아가는 것을 나타내고, 아래 그림은 짧은 시간 \(\Delta t\) 동안에 로켓의 연소과정을 거쳐 적은 질량 \(\Delt.. 2021. 1. 9.

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