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유도항법제어/제어일반7

주파수 응답 주파수 응답(frequency response)은 안정한 LTI(선형 시불변) 시스템에 싸인 또는 코사인 파형(sinusoids) 입력을 가했을 때 나오는 정정상태 응답(steady-state response)이다. 입력 \(u(t)\)가 시스템에 가해지는 시간이 \(t=-\infty\) 이라면 인과(causal) LTI 시스템의 출력은 다음과 같다. \[ y(t)= \int_{-\infty}^t h(t-\tau) u(\tau) \ d\tau \] 여기서 \(h(t)\)는 LTI 시스템의 임펄스 반응(impulse response)이다. 위 식에 의하면 시스템에 입력이 가해진 지 이미 무한대의 시간이 경과했으므로 시스템이 안정하다면, 시간 \(t\)에서의 반응은 이미 정정상태에 도달했다고 볼 수 있다. .. 2021. 2. 5.
정정상태 응답과 과도 응답 영어로 steady-state response를 정정상태 응답, transient response를 과도 응답이라고 번역한다. 정정상태는 시스템의 출력이 안정되어서 시간이 흘러도 같은 값을 유지하거나 같은 패턴의 출력이 나오는 상태를 말한다. 과도 응답이란 출력이 \(0\)부터 시작하여 정정상태 응답으로 가는 동안의 과도기 응답을 말한다. 영어를 한자로 번역하고 표기는 한글로만 하기 때문에 오해하기 쉬운 용어가 됐다. 정정 행렬이라는 용어도 있는데 이 때 '정정' 은 영어로 positive-definite이다. '양의 값으로 규정된' 이라는 뜻이다. 아무튼 둘 다 정정이라고 번역한다. ‘과도’는 일상 용어로는 과일 깍는 칼을 말한다. 응답은 response를 번역한 것인데 '반응' 이라고 하기도 한다. .. 2021. 2. 5.
진동 모드 해석 복소수는 실수부와 허수부를 갖는 수체계다. 실수부를 \(x\)축에, 허수부를 \(y\)축에 표시하면 복소수를 복소 평면상에 표시할 수 있다. 복소수는 보통 실수부와 허수부로 표현하지만 다음과 같이 크기와 위상각으로도 표현할 수 있다. \[ \begin{align} z &=x+jy \\ \\ &= r \cos \theta +j r \sin \theta \end{align} \] 여기서 \(r\)은 복소수의 크기, \(\theta\)는 위상각이며 각각 다음과 같이 계산할 수 있다. \[ r= \sqrt{x^2+y^2 }, \ \ \ \theta =\tan^{-1} \left( \frac{y}{x} \right) \] 오일러 공식(Euler formula)에 의하면 다음 식이 성립하므로, \[ e^{j \th.. 2021. 1. 26.
운동 모드 해석 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)의 개념은 여러 분야에서 사용되고 있다. 운동 모드를 해석할 때도 사용되는데 이에 대해서 알아보자. 다음과 같이 상태변수의 미분 방정식으로 표현되는 운동 방정식이 있다고 하자. \[ \dot{\mathbf{x}}= A \mathbf{x} \tag{1} \] 여기서 \(\mathbf{x}(t)\)는 상태변수로서 성분이 \(n\)개인 벡터다. \(A\)는 성분이 모두 실수 값인 \(n \times n\) 행렬이다. 위 식은 \(n\)개의 스칼라 미분 방정식이 서로 연결된 연립 미분 방정식으로서 외부 입력이 작용하지 않는 다양한 선형 운동 방정식을 표현할 수 있는 범용 식이다. 식 (1)을 상태공간 방정식(state-space equation)이라고.. 2021. 1. 26.
[Continuous-Time] 선형 시스템 시스템은 여러가지 기준으로 다양하게 분류될 수 있는데, 우선 시스템을 선형 시스템과 비선형 시스템으로 분류할 수 있다. 선형 시스템(linear system)인지 판별하기 위해서 두 개의 초기값과 입력 및 출력 세트가 있다고 하자. 첫 번째 세트는 임의의 시간 \(t=t_0\)에서 상태변수의 초기값이 \(\mathbf{x}_1 (t_0)\)이고, 시간 영역 \(t \ge t_0\)에서 입력이 \(\mathbf{u}_1 (t)\)일 때 출력이 \(\mathbf{y}_1 (t)\)이고, 두 번째 세트는 상태변수의 초기값이 \(\mathbf{x}_2 (t_0)\)이고 시간 영역 \(t \ge t_0\)에서 입력이 \(\mathbf{u}_2 (t)\)일 때 출력이 \(\mathbf{y}_2 (t)\)이다. 선형.. 2021. 1. 10.
시스템의 수학적 표현 방법 시스템은 어떤 입력에 대해서 반응하여 동작하는 장치나 구성품의 집합을 뜻한다. 시스템의 반응을 출력 또는 응답이라고 한다. 시스템은 꼭 물리적인 장치나 구성품 또는 하드웨어일 필요는 없고, 알고리즘 또는 소프트웨어일 수도 있다. 아니면 사회경제 제도일 수도 있다. 세상에는 무인기 시스템, 제어 시스템, 금융 시스템 등등 많은 시스템이 있다. 제어 대상 시스템을 수학적으로 표현하는 방법에는 두 가지가 있다. 입력과 출력의 관계식으로 표현하는 방법과 상태공간(state-space) 방정식으로 표현하는 방법이다. 입력과 출력의 관계식으로 표현하는 방법을 시스템의 외부적 표현 방법이라고도 하는데 다음과 같이 연산자(operator)를 이용하여 입출력 관계식을 함수로 나타낸다. \[ \mathbf{y}(t)= \.. 2021. 1. 9.
안티 와인드업 (Anti-Windup) 제어 대상 시스템에 대해서 우리가 바라는 동작이 무엇인지 수치로 정해준 것을 명령(command)이라고 하고, 이 값과 실제 시스템의 출력의 차이를 추종 오차(tracking error)라고 한다. 비례-적분(PI, proportional-integral) 제어기는 출력이 정정상태(steady-state)에 돌입했을 때의 추종 오차를 줄이기 위한 제어 기법이다. 아래 그림은 일반적인 제어 시스템의 구조를 보여준다. \(r\)을 명령, \(y\)를 출력, \(e=r-y\)를 추종 오차, \(u\)를 제어 신호라고 한다. PI 제어기는 추종 오차의 크기에 비례하는 값과 오차의 적분 (또는 오차의 누적)에 비례하는 값을 제어 신호로 내보낸다. \[ u(t)=K_p e(t)+K_I \int_0^t e(t) \ .. 2021. 1. 9.