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유도항법제어/선형시스템4

진동 모드 해석 복소수는 실수부와 허수부를 갖는 수체계다. 실수부를 \(x\)축에, 허수부를 \(y\)축에 표시하면 복소수를 복소 평면상에 표시할 수 있다. 복소수는 보통 실수부와 허수부로 표현하지만 다음과 같이 크기와 위상각으로도 표현할 수 있다. \[ \begin{align} z &=x+jy \\ \\ &= r \cos \theta +j r \sin \theta \end{align} \] 여기서 \(r\)은 복소수의 크기, \(\theta\)는 위상각이며 각각 다음과 같이 계산할 수 있다. \[ r= \sqrt{x^2+y^2 }, \ \ \ \theta =\tan^{-1} \left( \frac{y}{x} \right) \] 오일러 공식(Euler formula)에 의하면 다음 식이 성립하므로, \[ e^{j \th.. 2021. 1. 26.
운동 모드 해석 고유값(eigen value)과 고유벡터(eigen vector)의 개념은 여러 분야에서 사용되고 있다. 운동 모드를 해석할 때도 사용되는데 이에 대해서 알아보자. 다음과 같이 상태변수의 미분 방정식으로 표현되는 운동 방정식이 있다고 하자. \[ \dot{\mathbf{x}}= A \mathbf{x} \tag{1} \] 여기서 \(\mathbf{x}(t)\)는 상태변수로서 성분이 \(n\)개인 벡터다. \(A\)는 성분이 모두 실수 값인 \(n \times n\) 행렬이다. 위 식은 \(n\)개의 스칼라 미분 방정식이 서로 연결된 연립 미분 방정식으로서 외부 입력이 작용하지 않는 다양한 선형 운동 방정식을 표현할 수 있는 범용 식이다. 식 (1)을 상태공간 방정식(state-space equation)이.. 2021. 1. 26.
[Continuous-Time] 선형 시스템 시스템은 여러가지 기준으로 다양하게 분류될 수 있는데, 우선 시스템을 선형 시스템과 비선형 시스템으로 분류할 수 있다. 선형 시스템(linear system)인지 판별하기 위해서 두 개의 초기값과 입력 및 출력 세트가 있다고 하자. 첫 번째 세트는 임의의 시간 \(t=t_0\)에서 상태변수의 초기값이 \(\mathbf{x}_1 (t_0)\)이고, 시간 영역 \(t \ge t_0\)에서 입력이 \(\mathbf{u}_1 (t)\)일 때 출력이 \(\mathbf{y}_1 (t)\)이고, 두 번째 세트는 상태변수의 초기값이 \(\mathbf{x}_2 (t_0)\)이고 시간 영역 \(t \ge t_0\)에서 입력이 \(\mathbf{u}_2 (t)\)일 때 출력이 \(\mathbf{y}_2 (t)\)이다. 선형.. 2021. 1. 10.
시스템의 수학적 표현 방법 시스템은 어떤 입력에 대해서 반응하여 동작하는 장치나 구성품의 집합을 뜻한다. 시스템의 반응을 출력 또는 응답이라고 한다. 시스템은 꼭 물리적인 장치나 구성품 또는 하드웨어일 필요는 없고, 알고리즘 또는 소프트웨어일 수도 있다. 아니면 사회경제 제도일 수도 있다. 세상에는 무인기 시스템, 제어 시스템, 금융 시스템 등등 많은 시스템이 있다. 제어 대상 시스템을 수학적으로 표현하는 방법에는 두 가지가 있다. 입력과 출력의 관계식으로 표현하는 방법과 상태공간(state-space) 방정식으로 표현하는 방법이다. 입력과 출력의 관계식으로 표현하는 방법을 시스템의 외부적 표현 방법이라고도 하는데 다음과 같이 연산자(operator)를 이용하여 입출력 관계식을 함수로 나타낸다. \[ \mathbf{y}(t)= \.. 2021. 1. 9.