수정 로드리게스 파라미터 (MRP)

수정 로드리게스 파라미터(MRP, modified Rodrigues parameters)는 1962년에 T. F. Wiener에 의해서 고안되었다. MRP ${\mathbf{e}}_b^a$ 의 정의는 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\mathbf{e}}_b^a=\frac{{\mathbf{q}}_{1:3}}{1+q_0}\end{array}$$

 

앞선 게시글 (https://pasus.tistory.com/377) 에 있는 고전(classical) 로드리게스 파라미터의 정의와 비교해 보면 분모에 1을 더한 것을 볼 수 있다. 식 (1)과 쿼터니언의 특성에 의하면 다음식이 성립한다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(2)}& (1+q_0{)}^2({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^a& =({\mathbf{q}}_{1:3}{)}^T{\mathbf{q}}_{1:3}\\ & =1-q_0^2=(1+q_0)(1-q_0)\end{array}$$

 

식 (2)를 이용하면 다음과 같이 로드리게스 파라미터에서 쿼터니언으로의 변환을 구할 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(3)}& q_0& =\frac{1-({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^a}{1+({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^a}\\ {\mathbf{q}}_{1:3}& =\frac{2{\mathbf{e}}_b^a}{1+({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^a}\end{array}$$

 

삼각함수의 공식에 의하면,

 

$$\begin{array}{r}\text{(4)}& & \sin \left(\frac{\beta }{2}\right)=\sin (\frac{\beta }{4}+\frac{\beta }{4})=2\sin \left(\frac{\beta }{4}\right)\cos \left(\frac{\beta }{4}\right)\\ & \cos \left(\frac{\beta }{2}\right)=\cos (\frac{\beta }{4}+\frac{\beta }{4})={\cos }^2\left(\frac{\beta }{4}\right)-{\sin }^2\left(\frac{\beta }{4}\right)=2{\cos }^2\left(\frac{\beta }{4}\right)-1\end{array}$$

 

이 성립하므로, 식 (1)에 식 (4)를 대입하면 다음과 같이 간단하게 MRP를 표현할 수도 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(5)}& {\mathbf{e}}_b^a& =\frac{{\mathbf{p}}^b\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)}{1+\cos \left(\frac{\beta }{2}\right)}={\mathbf{p}}^b\frac{2\sin \left(\frac{\beta }{4}\right)\cos \left(\frac{\beta }{4}\right)}{2{\cos }^2\left(\frac{\beta }{4}\right)}\\ & ={\mathbf{p}}^b\tan \left(\frac{\beta }{4}\right)\end{array}$$

 

MRP 역시 회전각 $\beta =\pm 2\pi$ 에서 특이점이 존재하지만 고전 로드리게스 파라미터의 회전 범위의 두 배가 된다. 계속 회전하는(spinning) 경우를 제외하고는 대부분의 운동체는 $-2\pi <\beta <2\pi$ 범위의 자세(attitude)를 가지므로 특이점에 대한 부담없이 3개의 파라미터로 자세 표현 또는 좌표변환을 수행할 수 있다.

하지만 고전 로드리게스 파라미터와는 달리 MRP는 동일한 물리적인 자세 또는 좌표변환에 대해서 2:1 매핑을 갖는다. 즉,

 

$$\begin{array}{r}\text{(6)}& {\mathbf{e}}_b^a& =\frac{{\mathbf{q}}_{1:3}}{1+q_0}\\ ({\mathbf{e}}_b^a{)}^S& =\frac{-{\mathbf{q}}_{1:3}}{1-q_0}\end{array}$$

 

식 (6)의 ${\mathbf{e}}_b^a$ 와 $({\mathbf{e}}_b^a{)}^S$ 는 모두 동일한 물리적인 자세를 표현하는 것으로 $({\mathbf{e}}_b^a{)}^S$ 를 ${\mathbf{e}}_b^a$ 의 그림자 벡터(shadow vector)라고 한다.

쿼터니언에서 MRP로의 매핑은 다음 그림으로 설명할 수 있다.

 

 

그림에서 x축은 $q_0$, y축은 ${\mathbf{q}}_{1:3}$ 로서 초평면(3차원 공간)이다. 원은 반지름이 1인 4차원 구다. 쿼터니언은 이 4차원 구의 표면에 위치한다. MRP 벡터 ${\mathbf{e}}_b^a$ 는 $q_0=-1$ 점에서 쿼터니언을 이 y축 초평면으로 투영한 것이다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(7)}& & \frac{{\mathbf{q}}_{1:3}}{1+q_0}=\frac{{\mathbf{e}}_b^a}{1}\\ & \frac{-{\mathbf{q}}_{1:3}}{1-q_0}=\frac{({\mathbf{e}}_b^a{)}^S}{1}\end{array}$$

 

그림의 경우 그림자 벡터 $({\mathbf{e}}_b^a{)}^S$ 의 크기는 1보다 크고 ${\mathbf{e}}_b^a$ 는 1보다 작다. 하지만 MRP로 자세를 표현할 때 시간이 흐름에 따라서 ${\mathbf{e}}_b^a$가 1보다 커지고 그림자 벡터가 1보다 작아 질 수도 있다, 즉, 회전각에 따라서 ${\mathbf{e}}_b^a$의 크기는 다음과 같이 달라진다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(8)}& & \beta <\pi \to |{\mathbf{e}}_b^a|<1\\ & \beta >\pi \to |{\mathbf{e}}_b^a|>1\\ \\ & \beta =\pi \to |{\mathbf{e}}_b^a|=1\end{array}$$

 

$\beta =\pi$ 일 때는 $({\mathbf{e}}_b^a{)}^S=-{\mathbf{e}}_b^a$ 가 되며 $\beta >\pi$ 가 되면서 $({\mathbf{e}}_b^a{)}^S$ 가 4차원 구로 진입하고 ${\mathbf{e}}_b^a$ 는 구를 벗어나게 된다.

 

 

이 경우 적절하게 ${\mathbf{e}}_b^a$ 에서 그림자 벡터 $({\mathbf{e}}_b^a{)}^S$ 로 전환한다면 MRP 벡터의 크기를 항상 1 이하가 되도록 유지할 수 있다. 물론 이를 위한 로직이 필요하며 MRP와 그림자 벡터 사이의 경계선에서 '채터링'이 발생할 수도 있다.

MRP에서 DCM으로의 변환은 쿼터니언과 DCM 간의 변환식을 이용하여 구할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(9)}& C_b^a=q_0^{2}I+{\mathbf{q}}_{1:3}{\mathbf{q}}_{1:3}^T+2q_0[{\mathbf{q}}_{1:3}\times ]+[{\mathbf{q}}_{1:3}\times {]}^2\end{array}$$

 

식 (3)을 (9)에 대입하면 MRP에서 DCM으로의 변환식은 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(10)}& C_b^a& =\frac{(1-({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^a{)}^2}{(1+({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^a{)}^2}I+\frac{4{\mathbf{e}}_b^a({\mathbf{e}}_b^a{)}^T}{(1+({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^a{)}^2}\\ & +\frac{4(1-({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^a)}{(1+({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^a{)}^2}[{\mathbf{e}}_b^a\times ]+\frac{4}{(1+({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^a{)}^2}[{\mathbf{e}}_b^a\times {]}^2\\ \\ & =\frac{(1+({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^a{)}^2}{(1+({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^a{)}^2}I+\frac{-4({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^{a}I+4{\mathbf{e}}_b^a({\mathbf{e}}_b^a{)}^T}{(1+({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^a{)}^2}\\ \\ & +\frac{4(1-({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^a)}{(1+({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^a{)}^2}[{\mathbf{e}}_b^a\times ]+\frac{4}{(1+({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^a{)}^2}[{\mathbf{e}}_b^a\times {]}^2\\ \\ & =I+\frac{4(1-({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^a)}{(1+({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^a{)}^2}[{\mathbf{e}}_b^a\times ]+\frac{8}{(1+({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^a{)}^2}[{\mathbf{e}}_b^a\times {]}^2\end{array}$$

 

여기서

 

$$\begin{array}{r}[{\mathbf{e}}_b^a\times {]}^2=-({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^{a}I+{\mathbf{e}}_b^a({\mathbf{e}}_b^a{)}^T\end{array}$$

 

임을 이용하였다.

반대로 DCM에서 MRP를 추출하는 방법으로는 먼저 쿼터니언을 추출한 다음 식 (1)에 의해 MRP를 계산하는 것이 가장 편리하다.

한편 MRP도 연쇄법칙이 성립한다. 쿼터니언의 연쇄법칙인 식 (11)을 이용하여 증명해 보자.

 

$$\begin{array}{r}\text{(11)}& {\mathbf{q}}_c^a& ={\mathbf{q}}_b^a\otimes {\mathbf{q}}_c^b\\ & =\left[\begin{array}{c}{q}_0{r}_0-{\mathbf{q}}_{1:3}^T{\mathbf{r}}_{1:3}\\ r_0{\mathbf{q}}_{1:3}+q_0{\mathbf{r}}_{1:3}+[{\mathbf{q}}_{1:3}\times ]{\mathbf{r}}_{1:3}\end{array}\right]\end{array}$$

 

여기서 ${\mathbf{q}}_c^b=\left[\begin{array}{c}{r}_0\\ {\mathbf{r}}_{1:3}\end{array}\right]$ 이다. 식 (3)을 이용하면 다음과 같이 MRP의 연쇄법칙을 얻을 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(12)}& {\mathbf{e}}_c^a& =\frac{r_0{\mathbf{q}}_{1:3}+q_0{\mathbf{r}}_{1:3}+[{\mathbf{q}}_{1:3}\times ]{\mathbf{r}}_{1:3}}{1+q_0{r}_0-{\mathbf{q}}_{1:3}^T{\mathbf{r}}_{1:3}}\\ & =\frac{2(1-({\mathbf{e}}_c^b{)}^T{\mathbf{e}}_c^b){\mathbf{e}}_b^a+2(1-({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^a){\mathbf{e}}_c^b+4[{\mathbf{e}}_b^a\times ]{\mathbf{e}}_c^b}{(1+({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^a)(1+({\mathbf{e}}_c^b{)}^T{\mathbf{e}}_c^b)+(1-({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^a)(1-({\mathbf{e}}_c^b{)}^T{\mathbf{e}}_c^b)-4({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_c^b}\\ \\ & =\frac{(1-({\mathbf{e}}_c^b{)}^T{\mathbf{e}}_c^b){\mathbf{e}}_b^a+(1-({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^a){\mathbf{e}}_c^b+2[{\mathbf{e}}_b^a\times ]{\mathbf{e}}_c^b}{1+({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^a)(({\mathbf{e}}_c^b{)}^T{\mathbf{e}}_c^b)-2({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_c^b}\end{array}$$

 

 

 

MRP의 시간 미분은 식 (1)을 미분하면 얻을 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(13)}& {\dot{\mathbf{e}}}_b^a=\frac{(1+q_0){\dot{\mathbf{q}}}_{1:3}-{\dot{q}}_0{\mathbf{q}}_{1:3}}{(1+q_0{)}^2}\end{array}$$

 

여기서 쿼터니언의 미분식이 다음과 같으므로

 

$$\begin{array}{r}\text{(14)}& {\dot{\mathbf{q}}}_b^a& =\frac{1}{2}{\mathbf{q}}_b^a\otimes {\overline{\omega }}_{ab}^b\\ & =\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}-{\mathbf{q}}_{1:3}^T{\omega }_{ab}^b\\ q_0{\omega }_{ab}^b+[{\mathbf{q}}_{1:3}\times ]{\omega }_{ab}^b\end{array}\right]\end{array}$$

 

식 (14)를 (13)에 대입하고 식 (1)과 (3)을 이용하면 MRP의 미분 방정식은 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(15)}& {\dot{\mathbf{e}}}_b^a& =\frac{1}{2}\frac{(1+q_0)(q_0{\omega }_{ab}^b+[{\mathbf{q}}_{1:3}\times ]{\omega }_{ab}^b)+{\mathbf{q}}_{1:3}^T{\omega }_{ab}^b{\mathbf{q}}_{1:3}}{(1+q_0{)}^2}\\ & =\frac{1}{2}\frac{(q_0{\omega }_{ab}^b+[{\mathbf{q}}_{1:3}\times ]{\omega }_{ab}^b)}{(1+q_0)}+\frac{1}{2}\frac{{\mathbf{q}}_{1:3}^T{\omega }_{ab}^b{\mathbf{q}}_{1:3}}{(1+q_0{)}^2}\\ \\ & =\frac{1}{2}\frac{q_0{\omega }_{ab}^b}{(1+q_0)}+\frac{1}{2}[{\mathbf{e}}_b^a\times ]{\omega }_{ab}^b+\frac{1}{2}({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\omega }_{ab}^b{\mathbf{e}}_b^a\\ \\ & =\frac{1}{4}(1-({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^a){\omega }_{ab}^b+\frac{1}{2}[{\mathbf{e}}_b^a\times ]{\omega }_{ab}^b+\frac{1}{2}{\mathbf{e}}_b^a({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\omega }_{ab}^b\\ \\ & =\frac{1}{4}((1-({\mathbf{e}}_b^a{)}^T{\mathbf{e}}_b^a)I+2[{\mathbf{e}}_b^a\times ]+2{\mathbf{e}}_b^a({\mathbf{e}}_b^a{)}^T){\omega }_{ab}^b\end{array}$$

 

고전 로드리게스 파라미터와 수정 로드리게스 파라미터는 우주역학 분야를 제외하고는 아직 널리 적용되고 있지는 않다.