로드리게스 파라미터

로드리게스 파라미터(Rodrigues parameters) 벡터 또는 깁스(Gibbs) 벡터는 1840년 로드리게스(Olinde Rodrigues)에 의해서 처음 도입되었다. 로드리게스 파라미터 벡터 \(\mathbf{g}_b^a\)는 쿼터니언으로부터 다음과 같이 정의된다.

 

\[ \begin{align} \mathbf{g}_b^a= \begin{bmatrix} g_1 \\ g_2 \\ g_3 \end{bmatrix} = \frac{ \mathbf{q}_{1:3} }{ q_0} \tag{1} \end{align} \]

 

여기서 \(\mathbf{q}_{1:3}\) 는 쿼터니언의 벡터부이고 \(q_0\) 는 스칼라부다. 참고로 좌표계 \(\{a\}\) 를 회전축 \(\hat{p}\) 축을 중심으로 \(\beta\) 만큼 회전시켜서 나온 좌표계를 \(\{b\}\) 라고 할 때, 쿼터니언 \(\mathbf{q}_b^a\) 의 정의는 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} \mathbf{q}_b^a= \begin{bmatrix} \cos \left( \frac{\beta}{2} \right) \\ \mathbf{p}^b \sin \left( \frac{\beta}{2} \right) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} q_0 \\ \mathbf{q}_{1:3} \end{bmatrix} \tag{2} \end{align} \]

 

로드리게스 파라미터는 쿼터니언을 정규화하는 대신 쿼터니언의 벡터부를 스칼라로 나누어 4개 파라미터를 3개로 줄임으로써 쿼터니언의 비최소성을 해결하였다.

식 (1)과 쿼터니언의 특성에 의하면 다음식이 성립한다.

 

\[ \begin{align} q_0^2 (\mathbf{g}_b^a )^T \mathbf{g}_b^a=(\mathbf{q}_{1:3} )^T \mathbf{q}_{1:3}=1-q_0^2 \tag{3} \end{align} \]

 

식 (3)으로부터 다음과 같이 로드리게스 파라미터에서 쿼터니언으로의 변환을 구할 수 있다.

 

\[ \begin{align} q_0 &= \frac{ \pm1}{ \sqrt{1+(\mathbf{g}_b^a )^T \mathbf{g}_b^a } } \tag{4} \\ \\ \mathbf{q}_{1:3} &= \frac{ \pm \mathbf{g}_b^a}{ \sqrt{1+(\mathbf{g}_b^a )^T \mathbf{g}_b^a } } \end{align} \]

 

식 (1)과 (2)를 이용하면 로드리게스 파라미터를 다음과 같이 간단하게 표현할 수도 있다.

 

\[ \begin{align} \mathbf{g}_b^a= \frac{ \mathbf{p}^b \sin \left( \frac{\beta}{2} \right) }{ \cos⁡ \left( \frac{\beta}{2} \right) } = \mathbf{p}^b \tan \left( \frac{\beta}{2} \right) \tag{5} \end{align} \]

 

쿼터니언에는 동일한 물리적인 자세 또는 좌표변환에 대해서 두 가지의 표현식이 존재하는 대척점 모호성(antipodal ambiguity) 문제가 있지만 로드리게스 파라미터는 식 (1)에 의하면 \(\mathbf{q}_b^a\) 와 \(-\mathbf{q}_b^a\) 는 동일한 값으로 매핑되므로 동일한 물리적인 자세 또는 좌표변환에 대해서 1:1 매핑을 제공한다. 즉,

 

\[ \begin{align} \mathbf{g}_b^a= \frac{\mathbf{q}_{1:3} }{q_0} = \frac{-\mathbf{q}_{1:3} }{-q_0} \tag{6} \end{align} \]

 

쿼터니언에서 로드리게스 파라미터로의 매핑은 다음 그림으로 설명할 수 있다.

 

 

그림에서 x축은 \(q_0\), y축은 \(\mathbf{q}_{1:3}\) 로서 초평면(3차원 공간)이다. 원은 반지름이 1인 4차원 구다. 쿼터니언은 이 4차원 구의 표면에 위치한다. \(q_0=1\) 을 통과하고 원에 접하는 세로선은 4차원 구에 접하는 3차원 초평면을 나타낸다. 로드리게스 파라미터 벡터 \(\mathbf{g}_b^a\) 는 원점에서 쿼터니언을 이 초평면으로 투영한 것이다.

 

\[ \begin{align} \frac{\mathbf{q}_{1:3} }{q_0} = \frac{-\mathbf{q}_{1:3} }{-q_0}= \frac{ \mathbf{g}_b^a}{1} \tag{7} \end{align} \]

 

그림이나 식 (6)을 통해 알 수 있듯이 \(\mathbf{q}_b^a\) 와 \(-\mathbf{q}_b^a\) 는 동일한 로드리게스 파라미터 벡터에 매핑된다.

로드리게스 파라미터에서 DCM으로의 변환은 쿼터니언과 DCM 간의 변환식을 이용하여 구할 수 있다.

 

\[ \begin{align} C_b^a &= (q_0^2- \mathbf{q}_{1:3}^T \mathbf{q}_{1:3} ) I+ 2 q_0 [ \mathbf{q}_{1:3} \times ]+ 2 \mathbf{q}_{1:3} \mathbf{q}_{1:3}^T \tag{8} \end{align} \]

 

식 (4)를 (8)에 대입하면 로드리게스 파라미터에서 DCM으로의 변환식은 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} C_b^a &= \frac{ (1-(\mathbf{g}_b^a )^T \mathbf{g}_b^a ) I+ 2 [\mathbf{g}_b^a \times ] + 2 \mathbf{g}_b^a (\mathbf{g}_b^a )^T }{ 1+(\mathbf{g}_b^a )^T \mathbf{g}_b^a } \tag{9} \\ \\ &= \frac{1}{ 1+(\mathbf{g}_b^a )^T \mathbf{g}_b^a } \begin{bmatrix} 1+g_1^2-g_2^2-g_3^2 & 2(g_1 g_2-g_3) & 2(g_1 g_3+g_2) \\ 2(g_1 g_2+g_3) & 1+g_2^2-g_1^2-g_3^2 & 2(g_2 g_3-g_1) \\ 2(g_1 g_3-g_2) & 2(g_2 g_3+g_1) & 1+g_3^2-g_1^2-g_2^2 \end{bmatrix} \end{align} \]

 

로드리게스 매개변수와 DCM 간의 관계는 다음과 같이 케일리 변환(Cayley transform)으로도 표현할 수도 있다.

 

\[ \begin{align} C_b^a &= (I+[\mathbf{g}_b^a \times] ) (I-[\mathbf{g}_b^a \times ])^{-1} \tag{10} \\ \\ &= (I-[\mathbf{g}_b^a \times ])^{-1} (I+[\mathbf{g}_b^a \times] ) \end{align} \]

 

위 식의 성립여부는 식 (9)에 \((I-[\mathbf{g}_b^a \times ])\) 를 곱하면 확인할 수 있다. 행렬 \((I+[\mathbf{g}_b^a \times ])\) 와 \((I-[\mathbf{g}_b^a \times ])^{-1}\) 는 교환법칙이 성립하므로 곱셈 순서는 중요하지 않다.

반대로 DCM에서 로드리게스 파라미터로의 변환은 식 (4)와 (9)를 이용하여 계산할 수 있다.

 

\[ \begin{align} \mathbf{g}_b^a= \frac{1}{1+tr(C_b^a)} \begin{bmatrix} c_{32}-c_{23} \\ c_{13}-c_{31} \\ c_{21}-c_{12} \end{bmatrix} \tag{11} \end{align} \]

 

한편 로드리게스 파라미터도 연쇄법칙이 성립한다. 쿼터니언의 연쇄법칙인 식 (12)를 이용하여 증명해 보자.

 

\[ \begin{align} \mathbf{q}_c^a &= \mathbf{q}_b^a \otimes \mathbf{q}_c^b \tag{12} \\ \\ &= \begin{bmatrix} q_0 & -\mathbf{q}_{1:3}^T \\ \mathbf{q}_{1:3} & q_0 I+[ \mathbf{q}_{1:3} \times] \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r_0 \\ \mathbf{r}_{1:3} \end{bmatrix} \\ \\ &= \begin{bmatrix} q_0 r_0- \mathbf{q}_{1:3}^T \mathbf{r}_{1:3} \\ r_0 \mathbf{q}_{1:3}+q_0 \mathbf{r}_{1:3}+[ \mathbf{q}_{1:3} \times ] \mathbf{r}_{1:3} \end{bmatrix} \end{align} \]

 

여기서 \( \mathbf{q}_c^b= \begin{bmatrix} r_0 \\ \mathbf{r}_{1:3} \end{bmatrix}\) 이다. 식 (1)을 이용하면 다음과 같이 로드리게스 파라미터의 연쇄법칙을 얻을 수 있다.

 

\[ \begin{align} \mathbf{g}_c^a &= \frac{ r_0 \mathbf{q}_{1:3}+q_0 \mathbf{r}_{1:3}+[\mathbf{q}_{1:3} \times ] \mathbf{r}_{1:3} }{ q_0 r_0-\mathbf{q}_{1:3}^T \mathbf{r}_{1:3} } \tag{13} \\ \\ &= \frac{ \frac{ \mathbf{q}_{1:3} }{ q_0 } + \frac{ \mathbf{r}_{1:3} }{r_0} + \frac{[\mathbf{q}_{1:3} \times ] \mathbf{r}_{1:3} }{q_0 r_0} }{ 1- \frac{ \mathbf{q}_{1:3}^T \mathbf{r}_{1:3} }{ q_0 r_0 } } \\ \\ &= \frac{ \mathbf{g}_b^a+ \mathbf{g}_c^b + [\mathbf{g}_b^a \times ] \mathbf{g}_c^b }{ 1-(\mathbf{g}_b^a )^T \mathbf{g}_c^b } \end{align} \]

 

 

 

한편 로드리게스 파라미터의 시간 미분은 식 (1)을 미분하면 얻을 수 있다.

 

\[ \begin{align} \dot{\mathbf{g}}_b^a= \frac{ q_0 \dot{\mathbf{q}}_{1:3}- \dot{q}_0 \mathbf{q}_{1:3} }{ q_0^2 } \tag{14} \end{align} \]

 

여기서 쿼터니언의 미분식이 다음과 같으므로

 

\[ \begin{align} \dot{\mathbf{q}}_b^a &= \frac{1}{2} \mathbf{q}_b^a \otimes \bar{\omega}_{ab}^b \tag{15} \\ \\ &= \frac{1}{2} \begin{bmatrix} q_0 & -\mathbf{q}_{1:3}^T \\ \mathbf{q}_{1:3} & q_0 I+[ \mathbf{q}_{1:3} \times ] \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ \omega_{ab}^b \end{bmatrix} \\ \\ &= \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -\mathbf{q}_{1:3}^T \omega_{ab}^b \\ q_0 \omega_{ab}^b+[ \mathbf{q}_{1:3} \times ] \omega_{ab}^b \end{bmatrix} \end{align} \]

 

식 (15)를 (14)에 대입하고 식 (1)을 이용하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} \dot{\mathbf{g}}_b^a &= \frac{1}{2} \frac{ q_0 ( q_0 \omega_{ab}^b+[\mathbf{q}_{1:3} \times ] \omega_{ab}^b ) + \mathbf{q}_{1:3}^T \omega_{ab}^b \mathbf{q}_{1:3} }{ q_0^2 } \tag{16} \\ \\ &= \frac{1}{2} (\omega_{ab}^b+[ \mathbf{g}_b^a \times ] \omega_{ab}^b+(\mathbf{g}_b^a )^T \omega_{ab}^b \mathbf{g}_b^a ) \\ \\ &= \frac{1}{2} (I+[\mathbf{g}_b^a \times ] + \mathbf{g}_b^a ( \mathbf{g}_b^a )^T ) \ \omega_{ab}^b \end{align} \]

 

로드리게스 파라미터는 자세(attitude)를 3개의 파라미터로 표현한 것이기 때문에 특이점이 존재한다. 즉 회전각 \(\beta = \pm \pi\) 에서는 파라미터 값이 무한대가 된다. 이 문제를 해결하기 위해 수정 로드리게스 파라미터(MRP, modified Rodrigues parameters)가 고안되었다.